[2016년 안곡고]

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[2학년 1학기 기말 미적분1]

함수 [eqn: f(x)=(x^2 +1)(x^3 +2x-1)]에 대하여 [eqn: f`'(1)]의 값은? [3.4점]

③

① [eqn: -3]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 14]

④ [eqn: 17]	⑤ [eqn: 23]

실수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: int_0 ^1 (4x^3 +ax)dx=5]일 때, [eqn: a]의 값은? [3.6점]

④

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

함수 [eqn: f(x)=-x^2 +2x+1]에 대하여 닫힌 구간 [eqn: [0,```3]]에서 평균값 정리를 만족시키는 실수 [eqn: c]의 값은? [3.6점]

②

① [eqn: 1over2]	② [eqn: 3over2]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 9over4]	⑤ [eqn: 3]

[eqn: int_0 ^2 |x^2 -x |dx+int_-1 ^0 (3x^2 -2x +1)dx+int_0^1 (3x^2 -2x+1)dx]의
값은? [3.8점]

⑤

① [eqn: 8over3]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 10over3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (x,```y)]에서의 접선의 기울기는 [eqn: 2x-3]이다. 이 곡선이 [eqn: (-1,```2)]를 지날 때, [eqn: f(x)=0]의 모든 실근의 곱은? [3.8점]

①

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

점 [eqn: (0,```-1)]에서 곡선 [eqn: y=x^2 -x]에 그은 접선이 [eqn: x]축과의 만나는 점의 좌표를 [eqn: (a,```0)]이라 할 때, 모든 [eqn: a]의 값의 합은? [4.0점]

④

① [eqn: -2]	② [eqn: - 3 over4]	③ [eqn: 1over2]

④ [eqn: 2over3]	⑤ [eqn: 1]

원점 [eqn: RMO]를 출발하여 [eqn: x]축 위를 움직이는 두 점 [eqn: RMP], [eqn: RMQ]의 [eqn: t]초 후의 위치가 각각 [eqn: f(t)=t^2 -10t], [eqn: g(t)=t^2 -6t]일 때, 두 점 [eqn: RMP], [eqn: RMQ]가 서로 반대 방향으로 움직이는 시각 [eqn: t]의 범위는? [4.0점]

④

① [eqn: -1<t<1]	② [eqn: 0<t<2]	③ [eqn: 2 <t<4]

④ [eqn: 3<t<5]	⑤ [eqn: 4<t<7]

곡선 [eqn: y=-x^2 +x+2]와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 도형의 넓이가 [eqn: q overp]일 때, [eqn: p+q]의 값은? (단, [eqn: p], [eqn: q]는 서로소인 상수이다.) [4.0점]

①

① [eqn: 11]	② [eqn: 13]	③ [eqn: 15]

④ [eqn: 17]	⑤ [eqn: 19]

삼차함수 [eqn: f(x)=x^3 +ax^2 +4ax]가 구간 [eqn: (- inf,```inf)]에서 증가하도록 하는 실수 [eqn: a]의 최댓값은? [4.2점]

③

① [eqn: 4]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 17]	⑤ [eqn: 23]

함수 [eqn: f(x)=-x^2 +4x]에 대하여 [eqn: y=f(x)]와 직선 [eqn: y= 1over2 x]의 교점 중 원점 [eqn: RMO]가 아닌 점을 [eqn: RMA]라 하자. 점 [eqn: RMP]가 원점으로부터 점 [eqn: RMA]까지 곡선 [eqn: y=f(x)] 위를 움직일 때, 삼각형 [eqn: RMOAP]의 넓이가 최대가 되는 점 [eqn: RMP]의 [eqn: x]좌표는? [4.2점]

④

① [eqn: 1over2]	② [eqn: 3over2]	③ [eqn: 5over3]

④ [eqn: 7over4]	⑤ [eqn: 2]

[eqn: f(x)=3x^2 +2x+1]일 때, [eqn: lim_n->inf sum_k=1 ^n f left( 2 + 3k overn right) 2overn]의 값은? [4.2점]

②

① [eqn: 92]	② [eqn: 94]	③ [eqn: 96]

④ [eqn: 98]	⑤ [eqn: 100]

곡선 [eqn: y=x^3 +2] 위의 점 [eqn: (1,```3)]에서의 접선과 이 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 [eqn: S]라 하자. 이때, [eqn: 20S]의 값은? [4.4점]

①

① [eqn: 135]	② [eqn: 145]	③ [eqn: 155]

④ [eqn: 165]	⑤ [eqn: 175]

함수 [eqn: f(x)=x^3 -6x^2 +3ax+3]이 [eqn: -1<x<3]에서 극댓값, [eqn: x>3]에서 극솟값을 가지도록 하는 정수 [eqn: a]의 개수는? [4.4점]

⑤

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 7]

두 연속함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]가
[eqn: f(x)=4x+x^2 int_0 ^1 g(x)dx], [eqn: g(x)=-3x^2 +2x int_0 ^1 f(x)dx]
를 만족시킬 때, [eqn: int_0 ^1 left{2f(x)+4g(x)right} dx]의 값은? [4.6점]

②

① [eqn: 10]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 14]

다음은 구분구적법을 이용하여 [eqn: int_0^1 x^2 dx]의 값을 구하는 [eqn: 2]가지 방법에 대한 그림이다.

(가)
(나)

닫힌 구간 [eqn: [0,```1]]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)=x^2]에 대하여 [eqn: [0,```1]]를 [eqn: n]등분하여 양 끝점과 각 분점의 [eqn: x]좌표를 차례대로
[eqn: 0=x_0 , ```x_1 ,``` x_2 ,``` cdots,```x_n-1 , ```x_n =1]
이라 하자. (가), (나)의 [eqn: n]등분한 직사각형의 넓이의 합을 각각 [eqn: A_n =sum _k=1 ^n f(x_k ) 1overn], [eqn: B_n =sum_k=0 ^n-1 f(x_k ) 1overn]라 할 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [4.6점]

⑤

ㄱ. [eqn: lim_n->inf A_n =int_0 ^1 x^2 dx]

ㄴ. [eqn: lim_n->inf left( {A_n +B_n} over 2 right) =int_0 ^1 x^2 dx]

ㄷ. [eqn: A_n -B_n le 1over10]을 만족하는 [eqn: n]의 최솟값은 [eqn: 10]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

그림과 같이 삼차함수 [eqn: f(x)]의 도함수 [eqn: y=f`'(x)]와 사차함수 [eqn: f(x)]의 도함수 [eqn: y=g`'(x)]의 그래프의 교점의 좌표는 각각 [eqn: 0], [eqn: alpha], [eqn: beta] [eqn: (0<alpha<beta)]이다. 함수 [eqn: h(x)=f(x)-g(x)]라 할 때, 함수 [eqn: h(x)]의 극솟값이 모두 [eqn: 0]이면 방정식 [eqn: f(x)=g(x)]의 서로 다른 실근의 개수는? [4.6점]

③

① [eqn: 0]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 4]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]이고 [eqn: f(0)=1]인 사차함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(-x)=f(x)]를 만족시킨다. 방정식 [eqn: |f(x) |=3]가 서로 다른 네 개의 실근을 가질 때, [eqn: f(2)]의 값은? [4.8점]

②

① [eqn: -2]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 7]

실수 [eqn: t]에 대하여 사차함수 [eqn: f(x)= 1over4 x^4 -2tx^2 +3t^2]의 최솟값을 [eqn: g(t)]라 하자. 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [4.8점]

⑤

ㄱ. [eqn: g(1)=-1]

ㄴ. [eqn: g(t)]는 [eqn: t=0]에서 미분가능하다.

ㄷ. [eqn: int_-3 ^3 g(t)dt=18]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

서술형

[eqn: f(x)=-x^4 -4x+a^2 -4a-8]일 때, 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 부등식 [eqn: f(x) le0]이 항상 성립하기 위한 실수 [eqn: a]의 범위를 구하는 풀이과정과 답을 서술하시오. [8.0점]

[eqn: -1 le a le 5]

미분가능한 함수 [eqn: f(x)]에 대하여
[eqn: int_1 ^x (x-t)f(t)dt=x^3 +ax^2 +bx -1]
이 성립할 때, [eqn: f(2)]의 값을 구하는 풀이과정과 답을 서술하시오. (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.) [8.0점]

[eqn: f(2)=6]

그림은 삼차함수 [eqn: f(x)]의 도함수 [eqn: y=f'(x)]의 그래프이다.
[eqn: f(0)= 2over3]일 때, 방정식 [eqn: f(x)=k]가 한 개의 음의 실근만을 갖기 위한 상수 [eqn: k]의 값의 범위를 구하는 풀이과정과 답을 서술하시오. [9.0점]

[eqn: 14over3]

[2016년 안곡고]

[2학년 1학기 기말 미적분1]

오타, 오류, 문의사항 : hansungeun@gmail.com